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Trimestre octubre-diciembre Año XVIII,  No. IV,  Mes octubre 2012 ISSN 1027-2127

TITULO: Método para construir gráficos de funciones sin el uso de derivadas
TITLE: Method for constructing graphs of functions without the use of derivatives
AUTORES:

Luis Alberto Escalona-Fernández 1. albert@ucm.hlg.sld.cu

José Ramón Velázquez-Codina 2. velazquez@facinf.uho.edu.cu

Institución de los autores Universidad de Ciencias Médicas "Mariana Grajales Coello". Holguín 1

Universidad “Oscar Lucero Moya” Holguín 2.
PAIS:

Cuba

RESUMEN
Se elaboró un método para determinar los extremos locales, intervalos de convexidad, puntos de inflexión de funciones racionales y la resolución de problemas de optimización, el cual constituye una novedad científica, no solo desde el punto de vista matemático sino también de la Didáctica. Se estudian las propiedades topológicas de estas funciones. La generalización del método incluye la determinación de puntos de inflexión, sin el uso de límites y derivadas; no se utilizan las condiciones necesarias y suficientes, expresadas en los criterios de la primera, segunda y enésima derivadas. El análisis de los cálculos realizados pueden efectuarse con lápiz y papel; sin embargo la utilización de las Tecnologías Informáticas permiten a estudiantes y profesores incontables posibilidades.
PALABRAS CLAVES: MÉTODO; DIDÁCTICO; EXTREMOS; FUNCIONES RACIONALES.

ABSTRACT
A method was developed in order to determine the local extremes, intervals of convexity, inflection points of rational functions and optimization’s problem-solving, which is a scientific novelty, not only from a mathematical point of view but also from Teaching’s perspective. The topological properties of these functions were studied. The generalization of the method includes determining inflection points without the use of limits and derivatives. The necessary and sufficient conditions, expressed in the criteria of the first, second and nth derivatives were not used. Analysis of the calculations can be done with pencil and paper, but the use of computer technologies provide students and teachers with countless possibilities.
KEY WORDS: METHOD; DIDACTIC; EXTREME RATIONAL FUNCTIONS.

INTRODUCCIÓN
El estudio del origen de los distintos fenómenos que se explican mediante modelos matemáticos, los cuales son determinados en las diferentes disciplinas científicas avala su potencial interdisciplinario, como eje sobre el cual diferentes disciplinas pueden trabajar coordinadamente (ejes interdisciplinarios). Por lo que se desarrollan nuevos recursos (herramientas) matemáticos de trabajo y sus correspondientes algoritmos en función de dos grandes problemáticas: la construcción de curvas de funciones racionales, las cuales representan disímiles modelos de fenómenos y procesos de la ciencia y la técnica, así como en las Ciencias Médicas; y la resolución de problemas de optimización, sin el uso del cálculo diferencial ambos pueden enmarcarse en la carrera de Medicina y desde luego en carreras donde no se imparte está disciplina.

La importancia desde el punto de vista didáctico de este método consiste en que permite determinar los extremos, intervalos de convexidad, puntos de inflexión de funciones racionales y la resolución de problemas de optimización, sin el uso de límites, ni de las derivadas clásicas de funciones, tópicos con un número considerable de horas clases y un reto en cuanto a la asimilación de los conocimientos y habilidades a desarrollar en el aprendizaje de los estudiantes. Con esta herramienta de trabajo se resuelven problemas relacionados con las derivadas de funciones, lo cual constituye un salto cualitativo con respecto a los métodos y procedimientos que se conocen de las Matemáticas Elementales, así es posible establecer un acercamiento desde el punto de vista didáctico y metodológico con respecto a los métodos de las Matemáticas Superiores.

MATERIALES Y MÉTODOS
Se emplearon los métodos teóricos como: análisis-síntesis asociado al trabajo con documentos y fuentes relacionadas con el tema. El estudio de informes de investigaciones y fuentes bibliográficas, se utilizó el método de inducción y deducción, se determinaron las regularidades, para explicar el desarrollo de la interpretación de los modelos matemáticos en la carrera de Medicina. Se procesó la información, se utilizó la abstracción-concreción, con lo que se relacionaron las regularidades del desarrollo de la formación matemática.

Histórico lógico: es fundamentado el estudio de la evolución de las alternativas de la resolución de problemas de optimización y sus antecedentes. Así el enfoque hermenéutico dialéctico desde los procesos de comprensión, explicación e interpretación.

Los siguientes conceptos son fundamentales en la elaboración del método de trabajo propuesto.

Se denomina punto de inflexión de la curva de la función y=f(X), cuando en un punto donde una curva convexa se vuelve cóncava; ó viceversa. Siempre que las pendientes de las rectas tangentes en este punto existan y coincidan sus pendientes según los intervalos de convexidad y concavidad, en este caso la recta estará dispuesta, por debajo y por encima de la curva de la función respectivamente.
El método de trabajo consiste en la resolución de las desigualdades (1) ó (2), la diferenciación de casos permite determinar la pendiente de la recta tangente en cada punto x0 del dominio de la función. Se sustituye la pendiente calculada en las desigualdades; se determinan los intervalos de convexidad y concavidad. A continuación se ilustra el método mediante el ejemplo 1. Así se construye la curva de la función 2.

RESULTADOS DEL TRABAJO

Para determinar la recta tangente es necesario calcular su pendiente en cada punto x=x0 de la curva L; así se obtienen los intervalos de convexidad y concavidad, se analiza la existencia de rectas tangentes en los puntos de cambio de convexidad y si existen rectas tangentes en estos puntos, se concluye la existencia de los puntos de inflexión.

El máximo o el mínimo de una función se llaman extremo de la función, mientras que los valores del argumento para los cuales la función pasa por sus extremos se llaman puntos extremos de la función (respectivamente). Puntos de máximos o puntos de mínimos de la función 2, 6, 7.

El método de trabajo consiste en la resolución de las desigualdades planteadas en la definición para extremos (máximos ó mínimos) de la función, por diferenciación de casos se determinan los extremos locales o absolutos de la función, si existen.

A continuación se propone el siguiente problema: la concentración C(t) de un medicamento expresada en miligramos por centímetros cúbicos en el torrente sanguíneo de un paciente está dada en particular por la ecuación , donde el tiempo t es el número de horas transcurridas después de ingerido oralmente el medicamento. Determinar en qué momento t, la concentración del medicamento es máximo. Hallar los intervalos donde la concentración del medicamento es creciente y decreciente, los intervalos donde la velocidad de cambio la concentración del medicamento es creciente y decreciente. Hallar el valor del punto de variabilidad del medicamento 2.

La comprensión, explicación e interpretación de las soluciones de problemas resultan de gran utilidad en las Ciencias Médicas, mediante los ejes interdisciplinarios se analizan aspectos de las dimensiones: académica, laboral e investigativa. Se establecen decisiones eficientes en el diagnóstico y terapéuticas en pacientes, en función de resolver problemas salud a enfrentar por el Médico General, declarados en el Plan de estudio de la carrera de Medicina.

Se proponen dos algoritmos matemáticos de trabajo para la determinación de extremos de funciones, intervalos de convexidad y puntos de inflexión, concretan y complementan el método de trabajo propuesto.

Algoritmo (I). Dada la función y= f(x).
Paso 1. Se plantean las desigualdades (1) ó (2) para analizar respectivamente la existencia de máximo y mínimo en sentido estricto.

Paso 2. Se realizan operaciones aritméticas y operaciones de comparación, respectivamente en las expresiones (1) ó (2)) hasta agrupar los sumandos convenientemente en función de y sus potencias.

Paso 3. Se anula (se iguala a cero) el coeficiente de , se determinan los valores de x0 (se recomienda el uso de un programa informático profesional para comprobar los cálculos).

Paso 4. Se concluye según (1) ó (2), si es máximo o mínimo respectivamente. En caso de que no se verifiquen (1) ó (2), entonces no posee extremos.

Paso 5. Los valores x0 se evalúan en la función. Se indican las coordenadas del extremo.

Observación 1: este Algoritmo I se emplea en la resolución de problemas de optimización.

Observación 2: la visualización y el pensamiento matemático y científico juegan un papel protagónico en la verificación de los pasos del algoritmo 2.

Ejemplo 3: Determinar si la siguiente función tiene extremos locales .
Constituye un contraejemplo.
Se aplica el algoritmo I.

No es negativa, ni es positiva, como no se verifican (1) ó (2). Entonces se concluye que no posee extremos locales, ni absolutos.
Algoritmo (II) para determinar la pendiente de la recta tangente en cualquier punto del dominio de la función. Intervalos de concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.

Paso 2. Se realizan operaciones aritméticas y operaciones de comparación, respectivamente en (1) ó (2) la expresión) hasta agrupar los sumandos convenientemente en función de y sus potencias.

Paso 3. Se anula (se iguala a cero) el coeficiente de , se determina el valor de la pendiente m de la recta tangente a la curva de la función en el valor de Xo; es decir se obtiene la primera derivada de la función en Xo(se recomienda el uso de los medios informáticos para comprobar resultados).

Paso 4. Se analiza a partir de valor >0, si se verifican las desigualdades (1) ó (2) en cada punto Xo del dominio de la función.

Paso 5. Se concluye con la determinación de los intervalos de concavidad y convexidad, según se verifican (1) ó (2) respectivamente.

Paso 6. Según los intervalos de concavidad y convexidad y el valor de la pendiente “m” de la recta tangente a la curva de la función en el punto analizado, se determinan los puntos de inflexión. Se indican sus coordenadas.
Con la aplicación de los algoritmos I y II se integran los métodos propuestos, pues se obtiene información acerca del comportamiento de la curva de la función, con el uso de los medios informáticos se perfeccionan y verifican los resultados alcanzados.

Problema: Después de una hora de suministrado x miligramos de un medicamento en particular a una persona, el cambio de la temperatura T(x) en grados Fahrenheit


CONCLUSIONES

Los polinomios de tercer y cuarto grado constituyen un modelo para el estudio de propiedades topológicas de las funciones en general, pues contienen en sí mismo, la evolución de las funciones más sencillas, lineales y cuadráticas. El método de trabajo propuesto facilita la construcción de curvas de funciones polinómicas de grado n, cuando y de funciones racionales; el uso de las Tecnologías Informáticas visualizan los gráficos, a la vez brindan incontables posibilidades en el desarrollo del trabajo a estudiantes y profesores. Por lo que constituye una alternativa didáctica y metodológica en la construcción de gráficos de funciones polinómicas y racionales, y se resuelven problemas de optimización. La aplicación de los algoritmos consolida el método de trabajo propuesto.

La comprensión, explicación e interpretación de modelos matemáticos fortalecen la formación profesional de los estudiantes de la carrera de Medicina, en la cual no se estudian las Matemáticas Superiores. Así como determinar soluciones eficientes con relación a los diagnósticos y terapéuticas en pacientes, en casos donde es necesaria la utilización de modelos matemáticos que responden a problemas de salud a enfrentar por el Médico General.

BIBLIOGRAFÍA
1. Cain, G. y Herod, J. Multivariable Calculus (documento en línea) http://www.math.gatech.edu/~cain/ notes/calculus.html, [consultado: 08 jun. 2010].

2. Escalona, L. y J. R. Velázquez. Método alternativo para el análisis de algunas propiedades de las funciones elementales sin el uso de las derivadas (En soporte digital). Memorias del X Congreso Nacional de Matemática y Computación como número especial del Boletín de la Sociedad de Matemática y Computación, Holguín; Cuba, 2007.

3. Font Moll, V. Formas de argumentación en el cálculo de la función derivada de la función sin usar la definición por límites. Unión Revista Iberoamericana de Educación Matemática, 2009, junio, 18 (documento en línea)
http://www.fisem.org/paginas/union/revista.php, [consultado: 05 ene. 2011].

4. Karelin, O., Rondero, C. y Tarasenko, A. Propuesta didáctica sobre la construcción de la recta tangente sin el uso de la derivada. En: Martínez, G. (ed.). Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 19, 386-391. Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C: México, 2007.

5. Penglase, M. y Arnold, S. The graphics calculator in Mathematics Education: A critical review of recent research. E.E.U.U. Mathematics Education Research Journal 8 (1), 58-90, 1996.

6. Stewart, J. Calculus: EarlyTtranscedentes. Tennessee. International Thomson Publ. Inc. 1999. 579 p.

7. Valdés Castro, C. y Sánchez Fernández, C. Introducción al Análisis Matemático (En soporte digital). Facultad de Matemática y Computación, Universidad de La Habana, Cuba, 2008.

 



 




Síntesis curricular de los Autores

Luis Alberto Escalona-Fernández 1. Profesor Auxiliar. Máster en Ciencias (Didáctica de la Matemática Mención Enseñanza Superior).
Universidad de Ciencias Médicas Holguín. Ave. Lenin # 4, Holguín, Cuba. C. P. 80100. Departamento de Informática Médica. E-mail: albert@ucm.hlg.sld.cu

José Ramón Velázquez-Codina 2. Profesor Titular. Doctor en Ciencias Matemáticas. Jefe de Departamento de Matemáticas.
Universidad “Oscar Lucero Moya” Holguín. Facultad de Informática Matemática.
E-mail: velazquez@facinf.uho.edu.cu


Fecha de Recepción: 16 de abril 2011

Fecha de Aprobación:
30 de marzo 2012

Fecha de Publicación:
15 de octubre 2012


 


 

 


 

 

 
 

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