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Ciencias Holguín,                   Revista trimestral,               Año XX, enero-marzo 2014

El costo-efectividad medio: un enfoque matemático del porcentaje de éxitos sobre los costos variables / The average cost-effectiveness: a mathematical approach success rate over variable costs

Ramberto Rogelio Torres-Correa rogelio@fts.hlg.sld.cu

Institución del autor:
Facultad de Tecnología de la Salud ¨César Fornet Fruto¨. Holguín

PAÍS:
Cuba

RESUMEN

El presente trabajo da un punto de vista para el enfoque matemático del costo-efectividad en salud. El objetivo fue ejemplificar una forma del costo-efectividad gráfica y analítico-funcional considerando a la efectividad como la relación entre dos variables para su comprensión y aplicación en el ejercicio de la práctica administrativa.
PALABRAS CLAVE: COSTO-EFECTIVIDAD MEDIO; FUNCIÓN DE COSTO-EFECTIVIDAD; MULTIPLICADOR DE LAGRANGE.

ABSTRACT
This paper gives a point of view to the mathematical approach to cost-effectiveness in health. The objective was to exemplify a form of cost-effectiveness graphic and analytic-functional effectiveness considering the relationship between two variables for your understanding and application in the exercise of administrative practice.
KEY WORDS: AVERAGE COST-EFFECTIVENESS; COST-EFFECTIVENESS FUNCTION; LAGRANGE MULTIPLIER.

INTRODUCCION

La representación de conceptos mediante las matemáticas ha sido un propósito recurrente:
El físico francés Henri Poincaré (1854-1912) -y uno de los principales matemáticos del siglo XIX, no exageró al aseverar que […] “toda ciencia tiene de ciencia lo que tiene de matemática”, porque ésta representa el lenguaje científico por excelencia. […] la Matemática no es un simple conjunto de formulas y métodos, sino un ejemplo universal del análisis racional y la construcción de los conceptos en cualquier rama de saber,   […].1
En la actualidad y en nuestro contexto los especialistas siguen investigando el tema en cuestión:
     La enseñanza de la Matemática afecta a un elevado número de personas en todo el mundo. Este carácter eminentemente social y cultural, junto a la complejidad y dificultades detectadas en el aprendizaje de la misma, han contribuido a despertar la preocupación por el estudio de los procesos de comunicación, transmisión y comprensión de esta ciencia y a interesar al respecto, a una amplia comunidad científica, que se ha dedicado a investigar desde hace mucho tiempo en este campo.
      Sin embargo, aún en nuestros días, se confrontan serias dificultades, siendo una de las principales, la falta de éxito que tienen los estudiantes en el abordaje y resolución de problemas. Esto ha llevado a dirigir la atención hacia el proceso de enseñanza y aprendizaje de la resolución de problemas, considerado de gran importancia pues mediante el mismo los estudiantes experimentan las potencialidades y la utilidad de la Matemática en el mundo que les rodea. [Este estudio] revela insuficiencias en la comprensión y solución de los problemas matemáticos, motivadas principalmente por la incorrecta formación de representaciones de los mismos […]2.
En un momento se distinguió la economía matemática de una llamada economía literaria, distinción que hoy día no tiene lugar, sino apuntar que todavía se presentan enfoques a problemas de forma literal cuando una gran variedad de conceptos económicos tienen preferencia por el lenguaje de las matemáticas, destacándose las representaciones analíticas y gráficas y dentro de estas las formas geométricas.
La geometría es, por supuesto, una rama  de la matemática en sí misma y donde quiera que es utilizada nosotros hemos dejado categóricamente el campo de la economía literaria. Una ventaja del análisis geométrico es su carácter visual lo que hace relativamente fácil de percibir y comprender [los conceptos].3
La eficiencia económica se valora por el aprovechamiento racional u óptimo de los recursos humanos, materiales y financieros, expresados monetariamente, pero en salud no se puede emplear la concepción de  recursos y gastos mínimos si ello va en detrimento de la calidad y se afecta por ello la salud o satisfacción de las personas. 4
Las evaluaciones económicas son la herramienta para el análisis de la eficiencia en este contexto. Aunque el método que ocupa a este trabajo es el de costo-efectividad es importante apuntar que en los últimos años se ha constatado la tendencia hacia una mayor aplicación de estudios de costos y consecuencias cuya característica distintiva es considerar más de un indicador de resultado, superando así a los estudios de costo-efectividad.5 No obstante este no pierde su validez.
 El método de costo-efectividad es el más utilizado en el nivel de la microgestión y  una de sus formas es:
     Costo-efectividad medio = Costo / Efectividad = pesos por unidad de efectividad  (CEM = C/E).6
La representación gráfica y analítico-funcional del anterior concepto no es usual para los estudiantes del pregrado de administración y economía de la salud lo cual está relacionado con el un estudio realizado sobre las potencialidades de los alumnos7. Esto presupone considerar los denominados métodos completos, cuya clasificación en completos y parciales fue propuesta por Drummond, mencionado por Gálvez8, y citado por Ramos 9, porque los primeros implican tomar en cuenta tres elementos: recursos o costos, consecuencias o resultados, y alternativas.
Por lo que el problema consiste en cómo representar gráfica y funcionalmente el costo-efectividad medio como porcentaje de éxitos y su repercusión sobre los costos variables a partir de los recursos matemáticos recibidos en el pregrado, demostrando, además, su valor didáctico y como método práctico para el análisis. El objetivo es ejemplificar una forma del método de costo efectividad medio gráfica y analítico-funcional para su comprensión y aplicación en el ejercicio de la práctica administrativa.

MATERIALES Y MÉTODOS
Parte de una representación lineal  de la forma:
z = aex + b (a, e,  b constantes,  a ≠ 0, 0 > e £ 1)  (1)
En (1) los costos totales (z) están en función de los servicios efectivos (x), donde la pendiente (a) significa el costo variable por unidad de servicio,  e la efectividad y b la intersección con el eje y, o costo fijo. Si  se asume a x como los servicios efectivos y como servicios totales a y, entonces la efectividad (e)  es el cociente:
1
Como se considera en este modelo que la efectividad solo afecta a los costos variables se sustituye la ecuación (2) en la (1) y se obtiene:
2
Si luego se conviene que c = z – b, entonces:
3
Expresando a  (2) y (4)  como:
4
5
Si (5) expresa la diferencia entre los servicios efectivos y los totales de acuerdo con un nivel determinado de efectividad y (6) los costos totales variables, entonces la cantidad óptima de x* y de y* que satisfacen a (6) se puede plantear como la solución de un problema sencillo de optimización restringida utilizando el multiplicador de Lagrange10:
6
Derivando parcialmente a (7) y luego despejando a la variable x y luego a y, se obtiene:
7
8
Sustituyendo a  (9) en (8) se obtiene que x* = x lo que indica que (9) se puede sustituir en (2) para despejar a lambda (l). De esta forma, en este modelo:
9
Como es obvio, después que se obtiene a (10), se sabe que x* = ey; y* = x/e.
Pero como (8) y (9) contienen variables diferentes en ambos miembros se transforma a (1) en aex = c,  y en esta se sustituye a (8) y se despeja a y,  y esta se sustituye en (9) y se despeja a x resultando:
10
11
Sustituyendo a (11) y (12) en (5) transformada como:
12    
Así se obtiene: lc = lc, entonces  ¦ (c) = lc. Si se aplica el concepto de la derivada con (14) se aprecia que cuando en c se produce un pequeño incremento la función objetivo ¦(x, y) aumenta en l.
13

RESULTADOS DEL TRABAJO

Para ejemplificar el método se parte de los datos contenidos en un artículo resumen de una tesis de maestría publicado por la ENSAP.11

El programa de la inmunización contra Haemophilus influenzae tipo b en niños de 0-4 años, en Ciudad de La Habana, 1999-2002 abarcó en el Esquema de inmunización primario a una población de 115 584 y en el de Dosis de refuerzo a 72 770 para un total de 188354. En el período se esperaban 32 nuevos casos de Hib y 12 muertes.

La inmunización evitó 21 casos y nueve muertes, es decir, que se produjeron 11 casos y 3 fallecidos, para un total de 14.12

Considerando a x = 188340, y = 188354, e = 0,999926. El costo total de la inmunización es c =  $ 2 429 032,40 y la pendiente a = 2 429 032,40/188354 = 12,896102... El problema consiste en calcular el costo no absorbido por los servicios por la variación de la efectividad (Dc).

Solución:
Sustituyendo en (10), (11) y (12), se obtiene:
l = 1,000148; x* » 188368; y* » 188382.
Los valores de x* e y*  se observan en la Figura 1 y son los máximos que hacen mínimo el valor de (5). Se procede a calcular el nuevo costo variable total (c*) por:
c* = a(y*)  (15)
c* = a(y*) =12,896102... (188382…) = $ 2429391,937
Luego para calcular (Dc) se procede según:
Dc = c* – c  (16)
Dc = c* – c = 2429391,937 –2 429 032,40  = $ 359,54.
Observe que se puede calcular el nuevo costo variable unitario (a*) basado en el concepto visto en (14) por:
a* = l(a)  (17)
a* = l(a) =1,000148… (12,896102…) = 12,898011...
Y mediante este también c* por:
c* = a* (y)  (18)
c* = a* (y) = 12,898011... (188354) = $ 2429391,937

Es decir, que si se tomara al inicio a* = 12,898011, e = 0,999926, c = $ 2 429 032,40  y se corre el modelo, entonces se obtiene x* =188340,  y* =188354, como si la gráfica del mínimo de la Figura 1 no se desplazara y se mantuviera como la Figura 2.
14
En ambas figuras se muestra la gráfica de g(x, y) para c = 2 429 032,40 según (4) y su tangente para x = [x*] según y – y(x*) = y¢(x*) (x – x*) cuya pendiente en el punto (x*, y*), es la derivada de g(x, y), en este caso es 2 e informa que para una pequeña variación de los servicios efectivos los servicios totales  varían en 2 a partir del punto (x*, y*).

Es importante apuntar que los valores de x* e y* experimentan cambios drásticos cuando la efectividad es muy baja y el valor de a es alto.

CONCLUSIONES
Es un enfoque para calcular el costo variable no absorbido por la variación de la efectividad cuando esta sea homogeneizada como porcentaje de éxitos y no se registren o no se consideren costos fijos como puede ser el caso de una inmunización.
Para propósitos didácticos en el tema de optimización restringida se propone desarrollar el enfoque según se explica en el método después de que el docente desarrolle el contenido y según los niveles de asimilación del conocimiento el alumno se encuentre en la fase o etapa de aplicación.
Para propósitos de sistematización el problema se regulariza por las fórmulas (10), (11), (12), (15) y (16).
                                                  
BIBLIOGRAFIA

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  • Sydsaeter, K. (2003). Optimización restringida/Knut Sydsaeter, Peter Hammond (pp. 520-562). En: Matemáticas para el análisis económico. La Habana: Editorial  Félix Varela.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS


1 Sokol, N. Rivera, Z. Ciencia de la Información

2 Alonso Berenguer, Isabel. Principales insuficiencias en la resolución de problemas, p. 31 

3 Chiang, Alpha C. Fundametal methods of mathematical economics, p. 3

4 Ramos Domínguez, Benito. Costos y eficiencia en la atención de salud, p.110.

5 Diagnóstico de la evaluación económica en salud en Cuba, p. 10.

6 Ramos Domínguez, Benito. Costos y eficiencia en la atención de salud, p.109.

7 Concepción García, María Rita. Rol del profesor y sus estudiantes, pp. 78-80.

8 Gálvez, G.  López, P. El concepto de eficiencia, pp. 42-47.  

9 Ramos Domínguez, Benito. Costos y eficiencia en la atención de salud, p.111.

10 Sydsaeter, Knut. Optimización restringida, p. 520-535.

11 Costo-efectividad de la inmunización contra Haemophilus influenzae tipo b, pp. 34-35.

12 Ibídem, p. 34.

 

Síntesis curricular del Autor

Lic. Ramberto Rogelio Torres-Correa. rogelio@fts.hlg.sld.cu Economista. Profesor de Matemática Superior, matemáticas aplicadas, Economía de la Salud y Farmacoeconomía. Diplomado en Econometría y Matemática Aplicada e Informática. Profesor Asistente. Profesor Principal de Economía.

Institución del autor: Departamento de Administración y Economía de la Salud. Facultad de Tecnología de la Salud ¨César Fornet Fruto. Holguín


Fecha de Recepción:
01 de junio 2011

Fecha de Aprobación:
19 de julio  2012

Fecha de Publicación:
27 de enero 2014

 

 

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