Revista Ciencias Holguín

Ciencias Holguín / Revista trimestral / Volumen 22, No.4,  octubre-diciembre,   2016

Modelación de la distribución gamma en matlab para aplicaciones de radar / Modeling the gamma distribution in matlab for radar aplications

José Raúl Machado-Fernández

Contactos del Autor

Correo:josemf@electrica.cujae.edu.cu

Institucion: Universidad Tecnológica José Antonio Echeverría (CUJAE)

País: Cuba


RESUMEN
El clutter es una señal interferente que aparece en los sistemas de radar. El autor modeló la distribución Gamma, íntimamente relacionada al clutter, en MATLAB. La implementación permite un acceso fácil a la manipulación de las funciones de densidad de probabilidad y de distribución, la generación de muestras, el cálculo de los momentos, la aplicación de algoritmos de bondad de ajuste y la estimación de parámetros a partir de muestras con distribución Gamma. Expresiones matemáticas y notaciones de funciones informáticas fueron definidas para contribuir a la unificación de los estudios de clutter de radar. La solución es un punto de partida para el desarrollo de nuevos esquemas por parte de la CUJAE y contribuye a la conformación de la librería MATE-CFAR 2.
PALABRAS CLAVE: DISTRIBUCIÓN GAMMA; CLUTTER DE RADAR; FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD; ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DE DISTRIBUCIONES.

ABSTRACT
The clutter is an interfering signal that appears in radar systems. The author simulated the Gamma distribution, closely related to the clutter, in MATLAB. The implementation allows an easy access to the handling of probability density functions and cumulative distribution functions, samples’ generation, computation of moments, execution of tests and estimation of parameters by processing Gamma distributed samples. Mathematical expressions and notations for computer functions were defined as a contribution to the unification of radar clutter studies. The solution is a start point for the development of new schemes by the CUJAE and contributes to the realization of the MATE-CFAR 2 library.
KEY WORDS: GAMMA DISTRIBUTION; RADAR CLUTTER; PROBABILITY DENSITY FUNCTION; ESTIMATION OF DISTRIBUTION PARAMETERS

INTRODUCCIÓN
Un radar es un dispositivo que emite ondas electromagnéticas y recolecta el eco resultante del rebote de las emisiones en los objetivos próximos (Richards, Scheer, & Holm, 2010). La misión del radar es detectar los blancos de interés próximos y descartar aquellos que no atañen a la aplicación particular para la cual está diseñado. Algunos objetivos (como las nubes) pueden ser considerados como blancos para ciertas aplicaciones (meteorología) y como señal interferente (exploración aérea) en otras (Melvin & Scheer, 2014).
La señal recibida comúnmente del eco producido en la superficie terrestre, en la superficie marina o en el volumen de los fenómenos meteorológicos (nubes, neblina, lluvia) es interpretada como interferente y denominada clutter en la mayoría de las aplicaciones de radar (K. Ward, Tough, & Watts, 2013). El clutter es una contribución aleatoria cuyo aporte no puede ser deducido por mecanismos puramente determinísticos. Consecuentemente, su modelación cae en el campo de la estadística.
Múltiples han sido las distribuciones de probabilidad sugeridas en diversas publicaciones, entre ellas las distribuciones Weibull (Ping, 2011), Log-Normal (Ishii, Sayama, & Mizutani, 2011) y Rayleigh (Chen, Liu, Wu, & Wang, 2013) están entre las más populares. Desarrollos basados en estas distribuciones han sido presentados por el grupo de radares de la Ciudad Universitaria José Antonio Echeverría (CUJAE) (González Padilla, Bravo Quintana, Machado Fernández, & Bueno González, 2013; Machado Fernández, 2015b; Machado Fernández & Bacallao Vidal, 2014) fundamentalmente en soluciones relacionadas con clutter marino y terrestre.
Actualmente, el grupo dirige sus esfuerzos al trabajo con la distribución Gamma. Su probada aplicación en el campo del radar se evidencia cuando se aplica como distribución asociada a las mediciones de potencia del modelo compuesto K (Abraham & Preston, 2010; K. Ward et al., 2013).
Objetivos
Luego de una revisión de la literatura, el autor encontró que existen múltiples definiciones de la distribución Gamma. En (Cetin, 2008) se la siguiente expresión para la PDF (Probability Density Function, Función de Densidad de Probabilidad) Gamma:

1                              (1)

En (O’Connor, 2011) se usa:
2                                                (2)

En (Gentle, 2003) otra alternativa es ofrecida:
3                                     (3)

En (Forbes, Evans, Hastings, & Peacok, 2011) se aplica:
4                                         (4)

Adicionalmente en (Walck, 2007) es empleada la variante:
5                                     (5)

Las cinco expresiones anteriores son equivalentes, pero tienen diferencias en cuanto a la forma de denotar las variables y parámetros y en la definición del parámetro de forma. Primeramente, tres de las cinco expresiones previas eligen a 5 para denotar la variable independiente; mientras que en (1) y (2) se usan 6 y 7 respectivamente, en lo que supone un cambio sin consecuencias en la definición de la PDF.

Con respecto a la forma de denotar los parámetros, existe una variación más significativa. El parámetro dentro de la función Gamma 1 siempre es el parámetro de forma de la distribución. Por tanto queda denotado como 2 en (1), 3 en (2), 4 en (3), 5 en (4), y 6 en (5). Por su parte, el parámetro de escala queda como 1 en (1), 3 en (2), 4 en (3), 2 en (4), y 5 en (5).

Otro punto a tener en cuenta es la transformación entre los parámetros de las expresiones. El parámetro de forma tiene una transformación simple, dado que basta con cambiar la letra con la que se denota para hacer las expresiones equivalentes. En el parámetro de escala, por el contrario, si son necesarios ajustes para encontrar la equivalencia. Tomando como referencia la fórmula de (2), 1 se cambia por 2 para (1), por 3 para (3), por 4 para (4), y por 5 en (5).

Como puede apreciarse, hay una diversidad de formas para expresar la PDF de la distribución Gamma. El grupo de radares de la CUJAE precisa de una definición única para su implementación en MATLAB con vistas a habilitar la concepción de futuras implementaciones de soluciones de detectores.
Por tanto, el autor de la presente se trazó como objetivo la implementación en MATLAB de las funciones necesarias para la modelación de la distribución Gamma y su aplicación en el desarrollo de soluciones de detección de radar. Específicamente, se concentró en generar un conjunto de valores representativos de las muestras de amplitud a la salida del receptor del radar cuya PDF y CDF (Cumulative Distribution Function, Función de Distribución) se subordinen a la distribución Gamma, calcular los Momentos y aplicar el Método de los Momentos para la obtención de los parámetros de la distribución de las muestras generadas. La PDF base, de la que partió la simulación, fue la mostrada en (1), pues se comprobó que es utilizada con frecuencia en investigaciones vinculadas a clutter de radar (González García, 2008; Tucker & Azimi-Sadjadi, 2009; K. D. Ward, 2006)

El artículo se  desarrolla como sigue. La sección dos, bajo el nombre de “Materiales y Métodos”, explica los métodos, algoritmos o expresiones utilizados en la construcción de la mini-librería de modelación Gamma, buscando facilitar la reproducción de la implementación por terceros. Posteriormente, en la sección tres, denominada “Resultados”, se ofrece prueba de la validez de cada una de las funciones implementadas, a la vez que se establecen comparaciones que ratifican la correspondencia entre ellas. La sección siguiente, “Discusión”, valora el aporte del presente artículo en el marco de los desarrollos actuales de radar. Por último, en “Conclusiones y Trabajo Futuro” se indican los logros fundamentales de la labor realizada y las líneas inmediatas por las que continúa la investigación.

MATERIALES Y MÉTODOS
La tabla 1 muestra las funciones que fueron implementadas en MATLAB para la modelación de la distribución Gamma. Cada una de ellas es comentada un poco más adelante.
Tabla 1. Funciones de modelación Gamma implementadas en MATLAB.

Función

Objetivo

gam_pdf

Mostrar PDF Gamma

gam_cdf

Mostrar CDF Gamma

gam_gen

Generar muestras Gamma

gam_gen_plot

Generar y graficar muestras Gamma

gam_gen_hist

Generar muestras y organizarlas en un histograma

gam_gen_compare

Comparar el histograma con la curva PDF teórica

gam_residual

Calcular el residuo de muestras con respecto a la PDF teórica

gam_chi_squared

Realizar la prueba Chi-Squared de bondad de ajuste

gam_ideal_moments

Calcular los momentos ideales Gamma

gam_real_moments

Calcular los momentos reales Gamma

gam_estim_par

Estimar los parámetros Gamma a partir de muestras

gam_gen_sets

Genera varios conjuntos gamma

Las funciones gam_pdf y gam_cdf permiten graficar la PDF y la CDF Gamma respectivamente para conjunto de parámetros. La PDF Gamma utilizada es la dada en (1) mientras que la CDF es la (7) donde 1 es la función incompleta Gamma según fue definida en (O’Connor, 2011).
2                                           (7)
La función gam_gen genera muestras con distribución Gamma a partir del método ofrecido en (Gentle, 2003) según el cual es necesario aplicar algoritmos diferentes de acuerdo al parámetro de forma buscado (3). Un algoritmo es dado para 5, otro para 6 y un tercero para cualquier valor entero de 4. Adicionalmente, existen algoritmos que usan combinaciones de los tres primeros.
La función gam_gen_plot utiliza gam_gen para generar muestras cuyo histograma se subordina a la ley de distribución Gamma y las grafica en el tiempo. Algo parecido hace gam_gen_hist que organiza las muestras en un histograma, ofreciéndose así otra forma de visualización. Conjuntamente, gam_gen_compare genera muestras y grafica una comparación del histograma y la PDF teórica. Esta última función es quizás la más ilustrativa de las tres en cuanto a la correspondencia de los datos al modelo.

El código colocado en gam_residual permite calcular los residuos de la PDF obtenida a partir de muestras generadas con respecto a la PDF teórica. También se grafica este residuo, desplegando un medidor básico de la desviación por el uso de un conjunto finito de muestras. Una alternativa a esta medición es gam_chi_squared que realiza una prueba de ajuste muy conocida y que es detallada en (Marques de Sá, 2007).
La función gam_ideal_moments calcula los dos primeros momentos teóricos Gamma, junto a la Asimetría y la Curtosis según (O’Connor, 2011):
1             (8)

Por su parte, gam_real_moments calcula los momentos reales estimados a partir de un conjunto finito de muestras. La comparación entre los resultados de esta función y la anterior, revela la distorsión en los momentos por el uso de un conjunto finito de muestras. Los momentos reales de los conjuntos muestrales son calculados según las fórmulas dadas en (O’Connor, 2011).
Aprovechando la sencilla definición de los momentos Gamma, una forma fácil de estimación de los parámetros de la distribución se obtiene utilizando el método de los momentos. Las expresiones, que se implementan en gam_estim_par, se deducen de (Forbes et al., 2011):
1                                         (9)

Donde 1 es la media y 2 la desviación típica.

Por último, la función gam_gen_sets permite generar varios conjuntos Gamma en una matriz bidimensional que almacena un conjunto en cada columna. La lógica implementada no utiliza ningún algoritmo nuevo; se limita a llamar en múltiples ocasiones a gam_gen para lograr una generación fácil de múltiples conjuntos.

RESULTADOS DEL TRABAJO
La presente sección se dedica a mostrar los resultados que se obtienen con las funciones de la tabla 1. Se ofrecen los parámetros de cada función implementada, un ejemplo de su uso e imágenes que ilustran los resultados alcanzados.

Graficando la pdf y la cdf gamma
La función gam_pdf permite graficar la PDF Gamma. En la figura 1 se observa el efecto del cambio de los parámetros en el trazo de la curva, desplegando trazos construidos con gam_pdf. A la izquierda se observan trazos con un parámetro de forma (1) cambiante; mientras que a la derecha se varía el parámetro de escala (3). La modificación de 2 altera significativamente la forma de la curva PDF mientras que los cambios en 4 son más suaves. El comportamiento es el esperado pues el parámetro de escala introduce siempre modificaciones más leves y no altera la relación de proporcionalidad entre los valores.

1


Figura 1: Efecto de la variación de los parámetros Gamma en la forma de la curva PDF.

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Figura 2: Efecto de la variación de los parámetros Gamma en la forma de la curva CDF.

Las curvas de la figura 1 fueron comparadas satisfactoriamente con aquellas dadas en (O’Connor, 2011) para una configuración semejante de los parámetros. Con ello se pudo comprobar la correcta implementación de la PDF. Lo mismo se hizo con las curvas de CDF creadas con la función gam_cdf y que se muestran en la figura 2.
A continuación se ofrece la notación de las funciones gam_pdf y gam_cdf según fueron implementadas en MATLAB, junto a un ejemplo de su uso. Ambas tienen tres parámetros de entradas (1) y una sola salida (2). La entrada 3 es una matriz fila que indica los puntos en los que deben ser evaluadas la PDF o CDF según sea el caso. Por ejemplo, en las figuras 1 y 2 se usó una matriz fila 4 que comenzaba en 0.1 y se incrementaba también en 0.1 en cada celda hasta completar 200 valores. El último valor fue 20 que es precisamente el límite en el eje de las abscisas de las figuras 1 y 2.

Cuadro de texto: [y] = gam_pdf ( x , b , v )  y = gam_pdf ( x , 1 , 3 );


[y] = gam_cdf ( x , b , v )

y = gam_pdf ( x , 1. , 3 );

 

Los parámetros 1 y 2 son los parámetros de escala y forma respectivamente de la distribución Gamma. Por su parte, la salida 3 es un vector fila que porta el valor correspondiente al PDF para cada evaluación de las celdas de 4.
Generación de muestras gamma
Se crearon cuatro funciones asociadas a la generación de muestras Gamma. Con gam_gen se generan muestras Gamma en una matriz columna de salida. La alternativa gam_gen_plot grafica el resultado en una secuencia de valores, según se puede observar en la figura 3.

1

Figura 3: Secuencia de 3000 muestras con distribución Gamma.

Si bien es una representación fiel, la figura 3 no permite comprobar si las muestras generadas siguen la distribución Gamma. Gracias a la función gam_gen_hist, las muestras generadas pueden agruparse en histogramas, lo que permite una comprobación visual de la correspondencia de las muestras con la PDF de la distribución. La figura 4 ofrece dos histogramas generados con cantidades diferentes de muestras. Como es de esperar, el aumento en el tamaño del conjunto hace que el histograma gane en parecido con respecto a la forma ideal de la PDF.

1
Figura 4: Histogramas generados a partir de dos conjuntos de muestras Gamma.

Adicionalmente, la función gam_gen_compare incluye en una misma gráfica los trazos del histograma y de la curva teórica. La figura 5 revela la proximidad entre agrupaciones formadas a partir de 1000 y 10 000 muestras y la PDF teórica Gamma. El hecho de que el trazo de 10 000 muestras sea más parecido a la forma ideal confirma el efecto visualizado en la figura 4.
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Figura 5: Histogramas generados a partir de dos conjuntos de muestras Gamma.

A continuación, se presenta la notación utilizada para cada función implementada y un ejemplo de su uso.

Cuadro de texto: [y] = gam_gen ( amount , b , v )  y = gam_pdf ( 3000 , 1 , 3 );


[y] = gam_gen_plot ( amount , b , v )

y = gam_gen_plot ( 3000 , 1, 3 );

 

Cuadro de texto: [y] = gam_gen_hist (amount , b , v, limit , step )  y = gam_gen_hist ( 3000 , 1 , 3 , 15 , 0.2 );
Cuadro de texto: [ y , obs , xout , prob_obs , ideal] = gam_gen_compare ( amount , b , v, limit , step )  [ y , obs , xout , prob_obs , ideal ] = gam_gen_hist ( 3000 , 1 , 3 , 15 , 0.2 );

Las nuevas variables de entrada que se introducen son limit y step. La primera señala el límite del eje de las abscisas de la gráfica; por ejemplo en la figura 5 el valor establecido fue 10. La segunda define la longitud de las barras del histograma.
Además, la función gam_gen_compare tiene nuevas variables de salida. La variable obs ofrece los valores observados en cada intervalo, xout da los límites entre intervalos, prob_obs contiene la probabilidad de observar valores en cada intervalo e ideal almacena la forma teórica (o ideal) de la distribución Gamma para los parámetros de entrada. Nótese que la figura 5 resultó de graficar prob_obs contra ideal para la misma configuración de parámetros y cambiando la cantidad de muestras de la variable de entrada amount.

Ajuste de las muestras al modelo

Las siguientes dos funciones implementan mecanismos clásicos de medición del ajuste de las muestras al modelo. Primeramente, gam_residuals mide la diferencia entre la PDF teórica y el histograma recorriendo las curvas con la longitud del paso solicitada. La figura 6 presenta un gráfico de los residuos de un conjunto de 1000 muestras Gamma. Como puede observarse, los errores cometidos por la aproximación del histograma se distribuyen tanto en valores positivos como en negativos.

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Figura 6: Medición de los residuos de histogramas con respecto al PDF teórico Gamma.

El otro mecanismo de medición del ajuste es del tipo numérico. Esto quiere decir que sintetiza el resultado en un único valor que indica si las muestras pertenecen al modelo tratado. La función gam_chi_squared aplica la prueba de ajuste Chi-Cuadrado que devuelve un valor 1. Si el valor está por debajo de 0.05 se considera que las muestras no pertenecen a la distribución. Para probar el apropiado funcionamiento de gam_chi_squared, la función fue probada con 100 conjuntos de 1 000 muestras, obteniéndose la figura 7. En ella se observa que el tamaño muestral seleccionado no basta para garantizar que los conjuntos generados pertenezcan a la distribución, pues se observan ocasiones esporádicas en las que la prueba Chi-Cuadrado rechaza la hipótesis de pertenencia.
3
Figura 7: Valores 2 obtenidos luego de probar 100 conjuntos de 1000 muestras.

Las funciones implementadas para medir el ajuste de las muestras al modelo fueron:

Cuadro de texto: [y] = gam_residuals ( model , data , xout )  [y] = gam_chi_squared ( amount , b , v , limit , step , p_size )  [y] = gam_chi_squared ( 1000 , 1 , 3 , 15 , 0.1 , 100 );

La función gam_residuals tiene como parámetros a model que es el resultado de un muestreo sobre la PDF del modelo, a data que se obtiene de muestrear el histograma de los datos, y a xout que almacena los puntos en los cuales fue realizado el muestreo. Las entradas aquí son matrices de datos que pueden ser obtenidas con las funciones previas.
Por su parte, la función gam_chi_squared tiene cinco variables de entrada que ya han sido descritas en apartados anteriores. La última variable, p_size es la única nueva. Ella contiene la cantidad de pruebas a realizar relativas a la pertenencia de las muestras a la distribución. Por ejemplo, en la figura 7 se realizaron 100 pruebas que resultaron en 100 valores 1.

Momentos y estimación de parámetros
Las últimas tres funciones están dedicadas al trabajo con los momentos de la distribución. La variante gam_ideal_moments permite obtener los momentos teóricos (o ideales) mientras que gam_real_moments brinda los momentos reales calculados a partir de conjunto con una cantidad finita de muestras. Usando estas dos funciones se creó la figura 8 que revela la desviación de la media y la varianza con respecto a los valores teóricos de conjuntos de 1000 muestras.

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Figura 8: Fluctuación de la Media y la Varianza de 100 conjuntos de 1000 muestras.

La última función, denominada gam_estim_par, implementa la estimación de los parámetros de la distribución Gamma utilizando el Método de los Momentos. La estimación no es exacta y su precisión mejora con el aumento del tamaño muestral. La figura 9 grafica un ejemplo de la estimación de los parámetros de escala y forma para 100 conjuntos de 1000 muestras cada uno.
1
Figura 9: Variación de las estimaciones de los parámetros de 100 conjuntos de 1000 muestras.

Dos de las funciones utilizadas en el presente apartado son:
Cuadro de texto: [ m1 , m2 , m3, m4 ] = gam_ideal_moments ( b , v )  [ m1 , m2 , m3, m4 ] = gam_ideal_moments ( 1 , 3 );  [ m1r , m2r , m3r , m4r ] = gam_real_moments ( samples, b , v , m_size )  [ m1r, m2r , m3r , m4r ] = gam_real_moments ( 1000 , 1 , 3 , 100 );

Donde 1 son los momentos teóricos de la distribución Gamma y 2 los momentos reales estimados a partir de conjuntos con una cantidad finita de muestras. La variable de entrada m_size especifica cuantas pruebas ejecutará la función gam_real_moments estimando distintos valores para los momentos. Por ejemplo, para conformar la figura 8 se ejecutaron 100 pruebas.
La notación de la otra función empleada se muestras a continuación y utiliza las variables de entrada samples, b  y v cuya definición dista de la utilizada en funciones previas. La variable samples ahora almacena una matriz bidimensional donde cada columna es un conjunto de muestras. Por su parte, b y v son vectores fila que tienen una valor de cada parámetro Gamma por cada columna de samples. Para generar estos valores se puede usar la función gam_gen_sets que prepara el conjunto de datos a colocar en samples. El ejemplo que se da a continuación de gam_gen_sets genera una matriz de tres columnas con 1000 muestras Gamma cada una y parámetros 3 y 4

Cuadro de texto: [ b_estim, v_estim ] = gam_estim_par( samples, b, v )  [ y ] = gam_gen_sets ( amount , b , v )  [ y ] = gam_gen_sets ( 1000, [ 1 1 1 ] , [ 3 3 3 ] );

Análisis de los Resultados
El presente artículo constituye un punto de partida esencial para las investigaciones que se desarrollan en el Grupo de Radares de la CUJAE, pues define el conjunto de funciones necesarias para la modelación de una distribución estadística determinada. Las funciones serán usadas como marco de referencia para expandir lo implementado a otras distribuciones como la K, Pareto e Inversa Gaussiana, entre otras. El aporte cobra una significación educativa ya que puede ser empleado para el desarrollo de futuros trabajos de diploma de estudiantes de la CUJAE, y en la impartición de cursos de MATLAB orientado a radares.
El desarrollo aquí logrado viene a ser una continuación de lo implementado en (Machado Fernández, 2015a) para la distribución Weibull. Con respecto a (Machado Fernández, 2015a), se aumentó el número de funciones añadiendo análisis relacionados con la estimación de parámetros y el cálculo de los momentos, y se propusieron nuevos nombres cortos en la notación de las funciones. Además, un análisis cabal fue presentado en relación a las diferentes definiciones de la distribución Gamma dadas en la literatura.
El aporte de (Machado Fernández, 2015a) se une al actual para comenzar a formar una pequeña librería de modelación de clutter de radar. El objetivo perseguido por ambas contribuciones es el de aportar a la creación del producto informático MATE-CFAR 2 (MAtlab Test Environment- Constant False Alarm Rate detectors 2, Ambiente de Pruebas en MATLAB para detectores de Razón de Falsa Alarma Constante) que a su vez sería una progresión del MATE-CFAR versión 1 presentado en (Machado Fernández & Bacallao Vidal, 2014). La nueva herramienta pretende incluir modelación de diversos tipos de clutter, blancos y detectores CFAR de radar, así como técnicas de estimación de parámetros, por lo que también incluirá la contribución de (Gato Martínez, 2014).
La modelación de la distribución Gamma abre el camino hacia la manipulación matemática de la reconocida distribución K de la potencia que utiliza a Gamma como uno de sus componentes. Conjuntamente, la distribución square-root Gamma puede ser desarrollada a partir de la Gamma, lo que permite el desarrollo de la distribución K de la amplitud. El grupo de radares recomienda la utilización de las expresiones matemáticas aquí expuestas, junto a las funciones implementadas, como un medio de unificación de los estudios de radares a realizarse en Cuba y Latinoamérica. Por tanto, está dispuesto a compartir el código utilizado y las experiencias adquiridas con sus colegas radaristas.

CONCLUSIONES
Se implementó la distribución Gamma en MATLAB para la modelación de clutter de radar. La contribución incluye simulaciones relacionadas a la PDF, CDF, función generadora, algoritmos de bondad de ajuste, momentos y estimación de parámetros. La validez de la solución fue comprobada mediante la comparación con curvas de PDF y CDF dadas por otros autores, y mediante la interacción entre las diferentes funciones implementadas. El aporte de este artículo pretende unirse a otros para la constitución de una librería informática de simulación de radares que se denominará MATE-CFAR 2. Adicionalmente, la implementación actual constituye un marco de referencia en el desarrollo de proyectos de radar pues ofrece una definición unificada de las expresiones matemáticas relacionadas a la distribución Gamma y una notación y definición precisas de las funciones relacionadas a la modelación.
El autor se enfocará a continuación en modelar otras distribuciones de radar como la K, Pareto e Inversa Gaussiana, y en la simulación de procesadores CFAR. Se piensa agregar al conjunto de funciones simuladas métodos alternativos de estimación de parámetros, un medidor de residuos con respecto a la CDF y la prueba de bondad de ajuste K-S (Kolmogorov-Smirnov). Igualmente, es necesario realizar estudios bibliográficos sobre el rango de parámetros que pueden tomar las distribuciones abordadas cuando se ajustan a datos de clutter.

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Síntesis curricular del Autor

José Raúl Machado-Fernández. josemf@electrica.cujae.edu.cu  Ingeniero en Telecomunicaciones y Electrónica, Master en Ciencias, Profesor e Investigador, Aspirante a Doctor, Grupo de Investigación de Radares, Departamento de Telecomunicaciones y Telemática, Facultad de Telecomunicaciones y Electrónica, Universidad Tecnológica José Antonio Echeverría (CUJAE), La Habana, Cuba. Sus intereses de investigación incluyen la teledetección, el procesamiento digital de señales, el modelado del clutter marino y la aplicación de la inteligencia artificial a la resolución de diversos problemas de ingeniería.

Institución del autor
Universidad Tecnológica José Antonio Echeverría (CUJAE), Ciudad de la Habana, Cuba.

 

Fecha de Recepción: 21 de enero 2016
Fecha de Aprobación: 09 de marzo 2016
Fecha de Publicación: 31 de octubre 2016

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